Strona główna | TechnikaGeometria w praktyce, cz. 2. Dach czterospadowy i kopertowy

Geometria w praktyce, cz. 2. Dach czterospadowy i kopertowy

W pierwszej części cyklu przedstawiłam Państwu podstawowe pojęcia dotyczące trójkątów – twierdzenie Pitagorasa oraz Talesa, a także twierdzenia trygonometryczne. Opanowanie w/w twierdzeń pozwoli nam na dalszą pracę związana z wyliczaniem powierzchni połaci dachowych o bardziej skomplikowanych kształtach.

Rys. 1. Dach kopertowy z połaciami nachylonymi pod tym samym kątem

Lekcja 4: koperta
Dach kopertowy, po dachu pulpitowym i dwuspadowym  stanowi kolejny krok w naszej podróży matematycznej przez konstrukcje dachowe.

Dach kopertowy składa się z czterech połaci dachowych, zazwyczaj nachylonych pod tym samym kątem.


Rys. 2

Gdzie:
H – wysokość dachu
h – wysokość połaci dachowej
AB, BC, CD, DA – długości podstaw połaci dachowych
E – wierzchołek dachu
B – kąt nachylenia połaci dachowej, tu: 45o

Musimy jeszcze zauważyć, że w naszym przypadku rzut wierzchołka dachu przypada dokładnie na środku rzutu dachu. Zatem długość odcinka GF jest równy połowie długości odcinka AB, zatem jest to 4,5 m.

Dach kopertowy składa się z czterech trójkątnych połaci, potrzebny więc będzie podstawowy wzór na pole trójkąta:



gdzie:
a – podstawa trójkąta
h – wysokość trójkąta

Przyjrzyjmy się rzutowi perspektywicznemu dachu kopertowego.

Powierzchnia połaci ADE będzie wynosić:



Jak możemy zauważyć, nie znamy wysokości naszej połaci. Musimy ją więc obliczyć. Przydatna będzie tu funkcja tangens (tangens kąta alfa to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kata alfa do długości drugiej przyprostokątnej). Dla naszych oznaczeń:



Po przekształceniach otrzymujemy



Tg beta dla 45º jest równy 1 (wartość odczytujemy z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów w trójkącie).

Zatem wysokość H dachu jest równa długości GF – wysokość jest równa 4,5 m.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy teraz swobodnie obliczyć wysokość wysokość połaci dachowej:



zatem



Mając już wysokość połaci możemy obliczyć jej powierzchnię.



Jako że założyliśmy równość kąta nachylenia wszystkich połaci, to powierzchnia całego dachu będzie równa czterokrotności powierzchni połaci AED.



Lekcja 5: koperta z kalenicą, czyli dach czterospadowy
Dach czterospadowy może mieć dwie pary połaci o tym samym kącie nachylenia lub też każda z czterech połaci dachowych charakteryzuje się innym kątem pochylenia
Przekroje dachu o dwóch parach połaci o tym samym kącie nachylenia prezentuje rys. 3, zaś rzut perspektywiczny prezentuje rys. 4.


Rys. 3. Dach z dwiema połaciami o takim samym kącie nachylenia


Rys. 4. Dach z rys. 3 w rzucie perspektywicznym

Zatem obliczmy powierzchnię dachu o rzucie z rys. 4.

Przyjmijmy następujące założenia:
  • kąt beta, alfa są sobie równe i wynoszą 70º zaś kąty gamma, sigma wynoszą 60º ,
  • długości boków AA’ i FE i F’E’ są sobie równe i wynoszą 8 m, zaś EE’, BB’ i FF’ mają po 12 m.

W związku z faktem, że mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym AA’C, wysokość H dzieli podstawę na dwie równe części AI = IA’.

Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić to wyliczenie wysokości dachu H. Korzystając z twierdzenia tangensów mamy:





Mając wysokość dachu możemy obliczyć wysokość połaci 1 i 3:



Możemy teraz wyliczyć z pola powierzchni trójkąta wyliczyć pole połaci 1 i 3:



Pola połaci 1 i 3 są sobie równe.

Kolejnym krokiem będzie wyliczenie długości odcinka a z trójkąta BDC. Odcinek ten odpowiada długościom odcinków EG i E’G’.

Tu możemy już skorzystać z twierdzenia Pitagorasa:



Kolejnym etapem jest przypomnienie sobie wzoru na pole powierzchni trapezu:

Ptrapezu = 1/2 (a + b) • h

Wzór ten jest nam niezbędny, aby policzyć powierzchnię połaci ECC’E’ (rys. 5).

Zatem musimy znaleźć długości boków EE’ i CC’:
Odcinek EE’ = EG + GG’ + G’E’
12 m = 1,20 m + GG’+ 1,20 m
GG’= CC’ = 9,60 m

Wysokość h2 połaci 2 jest równa:



Teraz mamy wszystkie dane do wyliczenia pola połaci (EE’ CC’):



Pola połaci 2 i 4 są sobie równe.

Pole powierzchni dachu jest równe sumie pól połaci 1 do 4:

Powierzchnia dachu = P połaci 1 + P połaci 2 + P połaci 3 + P połaci 4

P dachu =  141,32 m2

Jak widać, nie trzeba znać zaawansowanej matematyki, żeby prawidłowo wyliczyć powierzchnię dachu.

W kolejnej części zajmiemy się wyliczaniem długości krawędzi, powierzchni połaci dachu czterospadowego o wszystkich czterech kątach nachylenia połaci różnych od siebie, a także dachami mansardowymi.

Monika A. Tomaszewska-Rzęsista

Przedstawione rysunki mają charakter poglądowy i w żaden sposób nie mogą być traktowane jako wskazówki konstrukcyjne.

Źródło: Dachy, nr 7 (115) 2009
DODAJ KOMENTARZ
Wymagane: Zaloguj się aby dodać komentarz > Zaloguj się
TEMAT MIESIĄCA
Pod własnym dachem

Kiedy dekarzem zostaje ktoś, kto od zawsze marzył o własnym domu, można się spodziewać, że gdy uda mu się zrealizować to marzenie, jego dach będzie dopieszczony w najdrobniejszych szczegółach. Jeśli dodatkowo człowiek ten jest pasjonatem swego fachu, jest prawie pewne, że będzie to dach niezwykły. Czytaj więcej